• menit
dibaca
Pembuktian Limit Trigonometri
Artikel
Limit merupakan alat yang sangat berguna. Limit ini merupakan dasar dari turunan yang sangat berguna di segala bidang teutama di bidang yang...
Bayu Samudra
//blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZmyzRNvcJPWUNPxHGTzxvUVkc8FxIQGwLRKvldwmltD4NVwhXbhbFgHtwoABKfUl7__U33deSQDgfdCawHRtbDCB79xPBbFIaapDcv9RqvfUcp-TnBGMjhSdBmIhhMgg/s220/bamboo.png
https://www.blogger.com/profile/14847931847769041084
Januari 25, 2020
https://hilir-ilmu.blogspot.com/2020/01/pembuktian-limit-trigonometri.html
M7. Kalkulus
M7.1. Limit
Limit merupakan alat yang sangat berguna. Limit ini merupakan dasar dari turunan yang sangat berguna di segala bidang teutama di bidang yang berbau teknik. Pengguasaan terhadap limit ini sangat diperlukan. Apalagi jika kita mendalami bidang teknik, kita akan sering bertemu dengan fungsi trigonometri dan limit. Oleh karena itu pada kali ini, kita akan membahas mengenai pembuktian limit trigonometri. Mungkin kita familiar dengan rumus-rumus berikut:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 $$ $$ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1 $$ $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{\tan(x)} = 1 $$
Akan tetapi, apakah kita pernah berpikir kenapa limit tersebut bisa mengasilkan nilai 1? Maka dari itu, mari kita kupas mengapa bisa hal itu bisa terjadi hanya saja untuk menghemat waktu, kita hanya membahas terlebih dahulu limit pada pernyataan pertama.
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 $$
Misalkan kita akan mendekati fungsi $ f(x) = \frac{\sin(x)}{x} $ mendekati 0.
Berikut ini adalah pendekatan mendekati 0 dari absis positif:
Berikut ini adalah pendekatan mendekati 0 dari absis negatif.
Jika kita lihat dari tabel pendekatan diatas, kita dapat simpulkan bahwa semakin mendekat nilai x menuju 0, semakin dekat juga nilai fungsi tersebut menuju 1. Untuk lebih jelasnya, mari kita perhatikan grafik berikut ini:
Dari grafik terlihat jelas bahwa fungsi tersebut semakin mendekati 0 dari absis positif ataupun negatif akan menuju satu nilai yaitu 1. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 $$
Dari gambar segitiga diatas dapat kita perloeh hubungan berikut
$$\text{Luas} \Delta\text{OAC} \le \text{Luas Juring OAC} \le \text{Luas}\Delta\text{OBC}$$
$$ \sin(\theta) = \frac{\overline{\text{AD}}}{\overline{\text{OA}}} $$ $$ \sin(\theta) = \frac{\overline{\text{AD}}}{\overline{r}} $$ $$ \boxed{\overline{\text{AD}} = r \cdot \sin( \theta )} $$
Dari data tersebut, dapat kita peloreh luas segitiga OAC dengan cara berikut.
$$ \text{Luas}\Delta\text{OAC} = \frac{1}{2}\cdot\overline{\text{OC}}\cdot\overline{\text{AD}} $$ $$ \text{Luas} \Delta \text{OAC} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \sin( \theta ) $$ $$ \boxed{ \text{Luas}\Delta\text{OAC} = \frac{1}{2}\cdot r^2 \cdot \sin( \theta )}$$
$$ \tan(\theta) = \frac{\overline{\text{BC}}}{\overline{\text{OC}}} $$ $$ \tan(\theta) = \frac{\overline{\text{BC}}}{\overline{r}} $$ $$ \boxed{\overline{\text{AD}} = r \cdot \tan( \theta )} $$
Dari data diatas, Luas segitiga OBC dapat kita dapatkan dengan cara sebagai berikut.
$$ \text{Luas}\Delta\text{OBC} = \frac{1}{2}\cdot\overline{\text{OC}}\cdot\overline{\text{BC}} $$ $$ \text{Luas}\Delta\text{OAC} = \frac{1}{2}\cdot r \cdot r \cdot \tan( \theta ) $$ $$ \boxed{ \text{Luas}\Delta\text{OAC} = \frac{1}{2}\cdot r^2 \cdot \tan( \theta )} $$
Substitusikan semua data yang telah kita peroleh sebelumnya $$ \frac{1}{2}\cdot r^2 \cdot \sin( \theta ) \le \frac{1}{2}\cdot \theta \cdot r^2 \le \frac{1}{2}\cdot r^2 \cdot \tan( \theta ) $$
Kalikan semua ruas dengan dua dan bagi dengan r2 $$ \sin( \theta ) \le \theta \le \tan( \theta ) $$
Kita limitkan semua ruas mendekati 0
$$ \lim_{\theta \to 0} \sin( \theta ) \le \lim_{\theta \to 0} \theta \le \lim_{\theta \to 0} \tan( \theta ) $$ Bagi semua ruas dengan sin(θ) $$ \lim_{\theta \to 0} 1 \le \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin(\theta)} \le \lim_{\theta \to 0} \frac{1}{\cos( \theta )} $$ Kita balik semua ruas menjadi $$ \lim_{\theta \to 0} \cos(x) \le \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} \le \lim_{\theta \to 0} 1 $$ Terapkan limit untuk setiap ruas $$ 1 \le \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin(\theta)} \le 1 $$ Dari sini dapat kita simpulkan bahwa: $$ \therefore \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 $$ Itulah pembuktian dari limit khusus trigonometri. Dalam penerapannya, sifat limit trigonometri ini sangat sering dipakai dalam memecahkan masalah berkaitan dengan limit trigonometri. Selain itu, sifat ini juga yang menjadi dasar turunan pertama dari semua turunan trigonometri. Sekian dari kami, semoga bermanfaat.
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 $$ $$ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1 $$ $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{\tan(x)} = 1 $$
Akan tetapi, apakah kita pernah berpikir kenapa limit tersebut bisa mengasilkan nilai 1? Maka dari itu, mari kita kupas mengapa bisa hal itu bisa terjadi hanya saja untuk menghemat waktu, kita hanya membahas terlebih dahulu limit pada pernyataan pertama.
Bukti dengan Pendekatan
Untuk mencari sebuah limit, kita dapat mendapatkannya dengan melakukan pendekatan dari fungsi yang kita maksud terhadap nilai tertentu. Kita dapat melakukannya dengan menulikan setiap nilai apabila kita mendekatkan absis (sumbu X) fungsi tersebut. Untuk pembuktian kali ini kita akan membuktikan limit berikut saja:$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 $$
Misalkan kita akan mendekati fungsi $ f(x) = \frac{\sin(x)}{x} $ mendekati 0.
Berikut ini adalah pendekatan mendekati 0 dari absis positif:
| x | y |
|---|---|
| 2 | 0,017449748 |
| 1 | 0,17452406 |
| 0,5 | 0,95885107 |
| 0,2 | 0,993346654 |
| 0,1 | 0,9983341665 |
| 0,01 | 0,9999833334 |
| 0,001 | 0,9999998333 |
| 0,0001 | 0,9999999983 |
| 0,000001 | 0,9999999999 |
| x | y |
|---|---|
| -2 | 0,017449748 |
| -1 | 0,17452406 |
| -0,5 | 0,95885107 |
| -0,2 | 0,993346654 |
| -0,1 | 0,9983341665 |
| -0,01 | 0,9999833334 |
| -0,001 | 0,9999998333 |
| -0,0001 | 0,9999999983 |
| -0,000001 | 0,9999999999 |
Dari grafik terlihat jelas bahwa fungsi tersebut semakin mendekati 0 dari absis positif ataupun negatif akan menuju satu nilai yaitu 1. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 $$
Bukti dengan geometri
Pada kali ini, kita akan mencoba membuktikan $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 $$ menggunakan geometri. Sebelum menyelam lebih dalam, perhatikan gambar berikut dengan seksama.Dari gambar segitiga diatas dapat kita perloeh hubungan berikut
$$\text{Luas} \Delta\text{OAC} \le \text{Luas Juring OAC} \le \text{Luas}\Delta\text{OBC}$$
Mencari luas segitiga OAC
Perhatikan segitiga OAC. Besar luas segitiga OAC dapat diperoleh dengan tinggi adalah sisi $\overline{\text{AD}}$ dan alas $\overline{\text{OD}}$. Diketahui panjang $\overline{\text{OC}} = \overline{\text{OA}} = r$, panjang $\overline{\text{AD}}$ dapat diketahui sebagai berikut:$$ \sin(\theta) = \frac{\overline{\text{AD}}}{\overline{\text{OA}}} $$ $$ \sin(\theta) = \frac{\overline{\text{AD}}}{\overline{r}} $$ $$ \boxed{\overline{\text{AD}} = r \cdot \sin( \theta )} $$
Dari data tersebut, dapat kita peloreh luas segitiga OAC dengan cara berikut.
$$ \text{Luas}\Delta\text{OAC} = \frac{1}{2}\cdot\overline{\text{OC}}\cdot\overline{\text{AD}} $$ $$ \text{Luas} \Delta \text{OAC} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \sin( \theta ) $$ $$ \boxed{ \text{Luas}\Delta\text{OAC} = \frac{1}{2}\cdot r^2 \cdot \sin( \theta )}$$
Mencari luas juring OAC
Perhatikan juring OAC. Juas juring tersebut adalah sebagai berikut (dengan sudut dalam radian). $$ \boxed{ \text{Luas Juring OAC} = \frac{1}{2} \theta \cdot r^2 }$$Mencari luas segitiga OBC
Perhatikan segitiga OBC. Luas segitiga ini dapat kita peroleh dengan mengganggap $\overline{\text{OC}}$ sebagai alas dan $\overline{\text{BC}}$ sebagai tinggi dari segitiga. Diketahui panjang $\overline{\text{OC}} = r$. Panjang BC dapat kita peroleh dengan hubungan berikut.$$ \tan(\theta) = \frac{\overline{\text{BC}}}{\overline{\text{OC}}} $$ $$ \tan(\theta) = \frac{\overline{\text{BC}}}{\overline{r}} $$ $$ \boxed{\overline{\text{AD}} = r \cdot \tan( \theta )} $$
Dari data diatas, Luas segitiga OBC dapat kita dapatkan dengan cara sebagai berikut.
$$ \text{Luas}\Delta\text{OBC} = \frac{1}{2}\cdot\overline{\text{OC}}\cdot\overline{\text{BC}} $$ $$ \text{Luas}\Delta\text{OAC} = \frac{1}{2}\cdot r \cdot r \cdot \tan( \theta ) $$ $$ \boxed{ \text{Luas}\Delta\text{OAC} = \frac{1}{2}\cdot r^2 \cdot \tan( \theta )} $$
Membuktikan limit
Seperti yang telah kita bahas sebelumnya, kita peroleh pertidaksamaan berikut: $$ \text{Luas}\Delta\text{OAC} \le \text{Luas Juring OAC} \le \text{Luas}\Delta\text{OBC} $$Substitusikan semua data yang telah kita peroleh sebelumnya $$ \frac{1}{2}\cdot r^2 \cdot \sin( \theta ) \le \frac{1}{2}\cdot \theta \cdot r^2 \le \frac{1}{2}\cdot r^2 \cdot \tan( \theta ) $$
Kalikan semua ruas dengan dua dan bagi dengan r2 $$ \sin( \theta ) \le \theta \le \tan( \theta ) $$
Kita limitkan semua ruas mendekati 0
$$ \lim_{\theta \to 0} \sin( \theta ) \le \lim_{\theta \to 0} \theta \le \lim_{\theta \to 0} \tan( \theta ) $$ Bagi semua ruas dengan sin(θ) $$ \lim_{\theta \to 0} 1 \le \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin(\theta)} \le \lim_{\theta \to 0} \frac{1}{\cos( \theta )} $$ Kita balik semua ruas menjadi $$ \lim_{\theta \to 0} \cos(x) \le \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} \le \lim_{\theta \to 0} 1 $$ Terapkan limit untuk setiap ruas $$ 1 \le \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin(\theta)} \le 1 $$ Dari sini dapat kita simpulkan bahwa: $$ \therefore \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 $$ Itulah pembuktian dari limit khusus trigonometri. Dalam penerapannya, sifat limit trigonometri ini sangat sering dipakai dalam memecahkan masalah berkaitan dengan limit trigonometri. Selain itu, sifat ini juga yang menjadi dasar turunan pertama dari semua turunan trigonometri. Sekian dari kami, semoga bermanfaat.
