• menit
dibaca
Pembuktian Aturan Sinus
Artikel
Mungkin banyak diantara kita yang sudah tahu apa itu aturan sinus. Aturan sinus itu merupakan salah satu perbandingan sudut dengan sisi yan...
Bayu Samudra
//blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZmyzRNvcJPWUNPxHGTzxvUVkc8FxIQGwLRKvldwmltD4NVwhXbhbFgHtwoABKfUl7__U33deSQDgfdCawHRtbDCB79xPBbFIaapDcv9RqvfUcp-TnBGMjhSdBmIhhMgg/s220/bamboo.png
https://www.blogger.com/profile/14847931847769041084
Februari 29, 2020
https://hilir-ilmu.blogspot.com/2020/02/pembuktian-aturan-sinus.html
M3. Geometri
Mungkin banyak diantara kita yang sudah tahu apa itu aturan sinus. Aturan sinus itu merupakan salah satu perbandingan sudut dengan sisi yang bersesuaian itu pada sebuah segitiga. Penerapan dari aturan ini sangat luas, terutama di bidang yang berkaitan dengan segitiga seperti fisika.
Untuk mengingat kembali, berikut ini adalah aturan sinus yang akan kita bahas kali ini. Perhatikan gambar dibawah ini.
Misalkan, sudut $ \angle \text{BAC} = \alpha $, $ \angle \text{ABC} = \beta $, dan $ \angle \text{BCA} = \gamma $, maka berlaku hubungan sebagai berikut:
$$ \boxed{\frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}}} $$
Bagaimana bukti dari persamaan diatas? Kita dapat membuktikan persamaan diatas menggunakan bantuan luas segitiga. Perhatikan gambar segitiga dibawah ini.
Kita tahu hubungan sinus dari sudut $ \angle \text{BAC} $ adalah $\sin{\angle \text{BAC}} = \sin{\alpha} = \frac{t}{c}$ . Apabila kita kalikan kedua ruas dengan $ c $ kita dapatkan $ t = c\cdot\sin{\alpha} $. Sehingga luas segitiganya adalah sebagai berikut: $$ \text{L }\triangle\text{ABC} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot t $$ $$ \text{L }\triangle\text{ABC} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \sin{\alpha} \dots (*)$$ Apabila kita melakukan hal yang sama pada hubungan dua sudut lainnya, kita akan mendapatkan persamaan berikut: $$ \text{L }\triangle\text{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \sin{\beta} \dots (**)$$ $$ \text{L }\triangle\text{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \sin{\gamma}\dots (***) $$ Apabila persamaan $ (*) $ dan $ (**) $ digabungkan, kita akan memperoleh hubungan berikut. $$ \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \sin{\beta} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \sin{\alpha} $$ $$ b \sin{\alpha} = a \sin{\beta} $$ $$ \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} $$ Apabila kita lakukan hal yang sama pada persamaan $ (**) $ dan $ (***) $ maka kita akan peroleh hubungan sebagai berikut $$ \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \sin{\gamma} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \sin{\beta} $$ $$ b \sin{\gamma} = c \sin{\beta} $$ $$ \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}} $$ Kalau kita amati, perbandingan yang dihasilkan dari persamaan $ (*) $ dengan $ (**) $ dan $ (**) $ dengan $ (***) $ menghasilkan hasil yang sama, maka dapat kita gabungkan sehingga kita dapatkan:
$$ \therefore \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}} $$
Kita tahu hubungan sinus dari sudut $ \angle \text{BAC} $ adalah $\sin{\angle \text{BAC}} = \sin{\alpha} = \frac{t}{c}$ . Apabila kita kalikan kedua ruas dengan $ c $ kita dapatkan $ t = c\cdot\sin{\alpha} $. Sehingga luas segitiganya adalah sebagai berikut: $$ \text{L }\triangle\text{ABC} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot t $$ $$ \text{L }\triangle\text{ABC} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \sin{\alpha} \dots (*)$$ Apabila kita melakukan hal yang sama pada hubungan dua sudut lainnya, kita akan mendapatkan persamaan berikut: $$ \text{L }\triangle\text{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \sin{\beta} \dots (**)$$ $$ \text{L }\triangle\text{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \sin{\gamma}\dots (***) $$ Apabila persamaan $ (*) $ dan $ (**) $ digabungkan, kita akan memperoleh hubungan berikut. $$ \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \sin{\beta} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \sin{\alpha} $$ $$ b \sin{\alpha} = a \sin{\beta} $$ $$ \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} $$ Apabila kita lakukan hal yang sama pada persamaan $ (**) $ dan $ (***) $ maka kita akan peroleh hubungan sebagai berikut $$ \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \sin{\gamma} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \sin{\beta} $$ $$ b \sin{\gamma} = c \sin{\beta} $$ $$ \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}} $$ Kalau kita amati, perbandingan yang dihasilkan dari persamaan $ (*) $ dengan $ (**) $ dan $ (**) $ dengan $ (***) $ menghasilkan hasil yang sama, maka dapat kita gabungkan sehingga kita dapatkan:
$$ \therefore \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}} $$
$ \blacksquare $
Seperti itulah pembuktian dari aturan sinus, semoga pembuktian ini dapat menambah wawasan kita. Terima Kasih :D.